Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{1 - x^{2}} \arcsin (x)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arcsin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Combine ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 10.3

Mova ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 10.4

Combine $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $\arcsin (x)$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 13

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Etapa 16

Simplifique os termos.

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Etapa 16.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Etapa 16.2

Combine $- 2$ e $\frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 16.3

Combine $\frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.4

Fatore $2$ de $- 2 \arcsin (x) x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Para escrever $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Para escrever $- \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 21.1

Multiplique $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ por $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.7

Multiplique $\frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 21.8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 21.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Etapa 21.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 21.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 21.12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 23

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 23.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 23.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 23.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 23.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{1} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 24

Simplifique ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 25

Simplifique.

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Etapa 26

Simplifique.

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Etapa 26.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 26.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 26.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Etapa 26.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Etapa 26.1.2

Reordene os fatores em $1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \arcsin (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Etapa 26.2

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arcsin (x) + 1}{- x^{2} + 1}$