Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\ln (5 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \ln (5 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{5 x}$ por $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ .

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ por $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

Etapa 4.4

Fatore $x$ de $x \ln^{2} (5 x) + x$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $x$ de $x \ln^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

Etapa 4.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

Etapa 4.4.4

Fatore $x$ de $x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$