Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\sqrt{5 x})$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.3

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 11.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a regra do produto a $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4

Combine os termos.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.2

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 12.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.3

Avalie o expoente.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 12.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.5

Simplifique.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4.7

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.4.7.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Etapa 12.4.7.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 12.4.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Etapa 12.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 12.4.7.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 12.4.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 12.4.7.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.6.1

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.6.1.1

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.6.1.2

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Etapa 12.6.1.3

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Etapa 12.6.2

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{1} + 1)}$

Etapa 12.6.3

Simplifique.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x + 1)}$