Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 3}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{x}{x + 3}}$ como ${(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x}{x + 3}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.6

Simplifique os termos.

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Etapa 9.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.6.4

Some $0$ e $3$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 9.6.5

Multiplique $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{{(x + 3)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.6.6

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 3}{x}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3

Combine os termos.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.2

Mova ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3

Multiplique ${(x + 3)}^{2}$ por ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.3.1

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4

Reordene os termos.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$