Cálculo Exemplos

$y = x^{3} {(2 x - 9)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(2 x - 9)}^{5}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{5}] + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 2 x - 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 9$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 9]) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 9]) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 9$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 9]) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 9)}^{4} \cdot 2) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 9)}^{4}) + {(2 x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 9)}^{4}) + {(2 x - 9)}^{5} (3 x^{2})$

Etapa 3.8

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 x - 9)}^{5}$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 9)}^{4}) + 3 \cdot {(2 x - 9)}^{5} x^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{2} {(2 x - 9)}^{4}$ de $x^{3} (10 {(2 x - 9)}^{4}) + 3 {(2 x - 9)}^{5} x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x^{2} {(2 x - 9)}^{4}$ de $x^{3} (10 {(2 x - 9)}^{4})$ .

$x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (x \cdot (10)) + 3 {(2 x - 9)}^{5} x^{2}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{2} {(2 x - 9)}^{4}$ de $3 {(2 x - 9)}^{5} x^{2}$ .

$x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (3 (2 x - 9))$

Etapa 4.1.3

Fatore $x^{2} {(2 x - 9)}^{4}$ de $x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (3 (2 x - 9))$ .

$x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (x \cdot (10) + 3 (2 x - 9))$

Etapa 4.2

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} {(2 x - 9)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 9))$