Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.8

Combine $e^{- 2 \ln (x)}$ e $\frac{2}{x}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.10

Combine $x^{4}$ e $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ .

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Fatore $x$ de $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11.2.3

Cancele o fator comum.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11.2.4

Reescreva a expressão.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.11.2.5

Divida $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ por $1$ .

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Etapa 2.13

Some $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ e $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Mova $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 2.13.2

Some $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ e $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reordene os termos.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ .

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$