Cálculo Exemplos

$y = x e^{3 x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x - 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}] + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 1$ .

$x (e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (e^{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (e^{3 x - 1} (3 + 0)) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$x (e^{3 x - 1} \cdot 3) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x - 1}$ .

$x (3 \cdot e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1} \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique $e^{3 x - 1}$ por $1$ .

$x (3 e^{3 x - 1}) + e^{3 x - 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $3 e^{3 x - 1} x + e^{3 x - 1}$ .

$3 x e^{3 x - 1} + e^{3 x - 1}$