Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Etapa 4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 e^{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 e^{x}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Mova $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $2 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5.2.2

Some $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5.2.3

Some $- 2 e^{x}$ e $8 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$