Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 100}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 100$ .

$\frac{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 100) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $x^{2} + 100$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 100 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 100$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$\frac{x^{2} + 100 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 100 - x (2 x + \frac{d}{d x} [100])}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 100 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 100 - x (2 x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 100 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 100 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 100 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 100 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 100 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Etapa 7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 100}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$