Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{18 x^{2} + 9}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{18 x^{2} + 9}$ como ${(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 18 x^{2} + 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $18 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $18 x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(18 x^{2} + 9)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(18 x^{2} + 9)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(18 x^{2} + 9)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 7.3

Mova ${(18 x^{2} + 9)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [18 x^{2} + 9]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 9

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (18 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $18$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (36 x + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 12

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (36 x + 0)$

Etapa 13

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1

Some $36 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} (36 x)$

Etapa 13.2

Combine $36$ e $\frac{1}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{36}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}} x$

Etapa 13.3

Combine $\frac{36}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{36 x}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 13.4

Fatore $3$ de $36 x$ .

$\frac{3 (12 x)}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1

Fatore $3$ de $3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (12 x)}{3 ({(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (12 x)}{3 {(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12 x}{{(18 x^{2} + 9)}^{\frac{2}{3}}}$