Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sin (2 x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin (2 x)}$ como ${\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 7.3

Mova ${\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 9.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.3

Simplifique os termos.

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Etapa 9.3.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Separe as frações.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Converta de $\frac{1}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ em ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{1} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.3

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.4

Reordene os fatores em $\cos (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (2 x)$