Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sec (3 x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sec (3 x)}$ como ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 7.3

Mova ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 8.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Combine $\sec (3 x)$ e $\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 9.2

Combine $\tan (3 x)$ e $\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 9.3

Mova ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10

Multiplique $\sec (3 x)$ por ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1

Mova ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.2

Multiplique ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $\sec (3 x)$ .

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Etapa 10.2.1

Eleve $\sec (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Combine $3$ e $\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Etapa 14

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2

Reordene os fatores em $3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (3 x)}{2}$