Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{3 x + 5} {(8 x - 3)}^{4}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x + 5}$ como ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(8 x - 3)}^{4}$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{4}] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 8 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Some $8$ e $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.7.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 10.3

Mova ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Etapa 10.4

Combine $\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 14

Multiplique $3$ por $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

Etapa 16

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Some $3$ e $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Etapa 16.2

Combine $\frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4} \cdot 3}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{3 \cdot {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Para escrever $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot \frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Combine $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ e $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Multiplique $2$ por $32$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Multiplique ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Mova ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Simplifique $64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{64 (3 x + 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(64 (3 x) + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Fatore ${(8 x - 3)}^{3}$ de $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.1

Fatore ${(8 x - 3)}^{3}$ de $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2

Fatore ${(8 x - 3)}^{3}$ de $3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.3

Fatore ${(8 x - 3)}^{3}$ de ${(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Multiplique $64$ por $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.3

Multiplique $64$ por $5$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.5

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.6

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.7

Some $192 x$ e $24 x$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 320 - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.8

Subtraia $9$ de $320$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 311)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$