Cálculo Exemplos

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} - 4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $- 2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x + 3) (- 2 x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 10 x$ e $4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $- 12$ e $7$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ e cuja soma é $b = - 6$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $- 6$ como $- 1$ mais $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$