Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$