Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4.5

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + 0))$

Etapa 4.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x))$

Etapa 4.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + x + 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + x + 1) x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x)$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5

Combine os termos.

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Etapa 5.5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.7

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 5.5.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

Etapa 5.6

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$ .

$- ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1

Expanda $(x^{2} - 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x^{2} (2 x + 1) - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.2.2.1

Mova $x$ .

$- (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.7.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.8

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 5.8.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 0) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.8.2

Some $2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.9

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$- (4 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.10

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.11

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.12

Simplifique.

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Etapa 5.12.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.12.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.12.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.13

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.13.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.13.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.13.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.14

Multiplique $- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.15

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.16

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.17

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.18

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.19

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.20

Reescreva $- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$