Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 - x}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 - x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- x - (1 - x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x - (1 - x)}{x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x - 1 \cdot 1 - - x}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x - 1 - - x}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x - 1 + 1 x}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- x - 1 + x}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $- x - 1 + x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{0 - 1}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x^{2}}$