Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $15 x^{4} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $30 x$ de $60 x^{3} - 30 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $30 x$ de $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $30 x$ de $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $30 x$ de $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $2 x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ é $(0, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 1)$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.3.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.1.9

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.9.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.9.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Etapa 4.3.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Etapa 4.3.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10

Combine $- 5$ e $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Etapa 4.3.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Etapa 4.3.2.2

Para escrever $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Etapa 4.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiplique $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.5.1.2

Subtraia $10 \sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ é $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Etapa 4.5

Substitua $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.3.3

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.3.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.3.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.5.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.6

Multiplique $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.6.2

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Etapa 4.5.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Etapa 4.5.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.10.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.10.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.10.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.10.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.10.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.10.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.12

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.12.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.12.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.13

Multiplique $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Etapa 4.5.2.1.13.2

Combine $5$ e $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Etapa 4.5.2.2

Para escrever $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Etapa 4.5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Multiplique $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Etapa 4.5.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Etapa 4.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Etapa 4.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.5.2.5.2

Some $- 3 \sqrt{2}$ e $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.5.2.6

A resposta final é $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ é $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.80710678$ na expressão.

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.80710678$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Etapa 6.2.2

Some $- 31.54599564$ e $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Etapa 6.3

Em $- 0.80710678$ , a segunda derivada é $- 7.3327922$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.35355339$ na expressão.

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.35355339$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Etapa 7.2.2

Some $- 2.65165042$ e $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $7.95495128$ .

$7.95495128$

Etapa 7.3

Em $- 0.35355339$ , a segunda derivada é $7.95495128$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.35355339$ na expressão.

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.35355339$ à potência de $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $60$ por $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Etapa 8.2.2

Subtraia $10.60660171$ de $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Etapa 8.3

Em $0.35355339$ , a segunda derivada é $- 7.95495128$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $0.80710678$ na expressão.

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $0.80710678$ à potência de $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $60$ por $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Etapa 9.2.2

Subtraia $24.21320343$ de $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $7.3327922$ .

$7.3327922$

Etapa 9.3

Em $0.80710678$ , a segunda derivada é $7.3327922$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Etapa 11