Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine frações.

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Etapa 4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine $2$ e $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reordene os fatores em $2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Fatore $2 e^{x}$ de $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Etapa 5.5.1.1

Fatore $2 e^{x}$ de $2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $2 e^{x}$ de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4

Fatore $2 e^{x}$ de $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.5

Fatore $2 e^{x}$ de $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.5.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$