Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + \ln (x)}{1 - \ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \ln (x)$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + 1 (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $1 + \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Combine os termos opostos em $1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}$ .

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Etapa 6.3.1.1

Some $- \ln (x) \frac{1}{x}$ e $\ln (x) \frac{1}{x}$ .

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + 0}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Some $1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 + 1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.4

Combine os termos.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ como um produto.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ .

$\frac{2}{x {(1 - \ln (x))}^{2}}$