Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 9

Multiplique.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 9.2

Multiplique $1 + \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 10.2.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.2

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.3

Reorganize os termos.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 10.2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$