Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ como ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - 5 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 5 x - x^{2}$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 5 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.6

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ .

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique $5 + 2 x$ por $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$