Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 3.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Etapa 3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Etapa 3.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 6

Combine os termos.

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Etapa 6.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$