Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - 5 x + 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 4$ e $g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 5 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.13

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.14

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + 0)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.15

Some $4 x - 5$ e $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x + 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Expanda $(- 3 x + 4) (4 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x - 5) + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.1.6

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.2

Some $15 x$ e $16 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $12 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} - 15 x + 21 + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $- 15 x$ e $31 x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 21 - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $20$ de $21$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{- (6 x^{2}) + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $16 x$ .

$\frac{- (6 x^{2}) - (- 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- (6 x^{2} - 16 x - 1)$ como $- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 x^{2} - 16 x - 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$