Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$