Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 - 3 x$ e $g (x) = 3 x^{2} + x$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $3 x^{2} + x$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Expanda $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.4.1.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Some $- 24 x$ e $3 x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $- 9 x^{2}$ e $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $21 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} + x$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a regra do produto a $x (3 x + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$