Cálculo Exemplos

$y = 5^{x^{3} + \cos (2 x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = x^{3} + \cos (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$

Etapa 4.4.2

Reordene os fatores de $5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} (3 x^{2} - 2 \sin (2 x)) \ln (5)$