Cálculo Exemplos

$y = \frac{5}{1 + e^{3 x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{1 + e^{3 x}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + e^{3 x}}$ como ${(1 + e^{3 x})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{3 x})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + e^{3 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + e^{3 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + e^{3 x}$ .

$5 (- {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} e^{3 x}$

Etapa 6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Etapa 7

Combine os termos.

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Etapa 7.1

Combine $- 15$ e $\frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Etapa 7.3

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{3 x} \cdot 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Mova $15$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$- \frac{15 e^{3 x}}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$