Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x + 3}{5 x + 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x + 3$ e $g (x) = 5 x + 7$ .

$\frac{(5 x + 7) \frac{d}{d x} [4 x + 3] - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(5 x + 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(5 x + 7) (4 + \frac{d}{d x} [3]) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(5 x + 7) (4 + 0) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(5 x + 7) \cdot 4 - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $5 x + 7$ .

$\frac{4 \cdot (5 x + 7) - (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 7]}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) (5 + 0)}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - (4 x + 3) \cdot 5}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 (5 x + 7) - 5 (4 x + 3)}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (5 x) + 4 \cdot 7 - 5 (4 x + 3)}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (5 x) + 4 \cdot 7 - 5 (4 x) - 5 \cdot 3}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 x + 4 \cdot 7 - 5 (4 x) - 5 \cdot 3}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{20 x + 28 - 5 (4 x) - 5 \cdot 3}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$\frac{20 x + 28 - 20 x - 5 \cdot 3}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{20 x + 28 - 20 x - 15}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $20 x + 28 - 20 x - 15$ .

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $20 x$ de $20 x$ .

$\frac{0 + 28 - 15}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $0$ e $28$ .

$\frac{28 - 15}{{(5 x + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $15$ de $28$ .

$\frac{13}{{(5 x + 7)}^{2}}$