Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\ln (3 x)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{\ln (3 x)}$ como $\ln^{- 1} (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (3 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (3 x)$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{3 x}$ e $\ln^{- 2} (3 x)$ .

$- \frac{\ln^{- 2} (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.2

Mova $\ln^{- 2} (3 x)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 4.4.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3 x \ln^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \cdot 1$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)}$