Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{4} + 9$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Mova $12$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $6 x^{5}$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Etapa 7.4

Fatore $6 x$ de $6 x^{5} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

Etapa 7.4.2

Fatore $6 x$ de $- 18 x$ .

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

Etapa 7.4.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ .

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $x$ de $6 x (x^{4} - 3)$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

Etapa 7.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$