Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7

Multiplique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 11

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12

Combine $2$ e $\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

Expanda $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 13.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.2.1

Multiplique $x \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2.3

Multiplique $\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Etapa 13.2.1.2.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 (x \cos^{2} (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 13.2.1.4.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.4.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.1.4.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.2

Mova $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.4

Fatore $2 x$ de $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.5

Fatore $2 x$ de $2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.6

Reorganize os termos.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cdot 1 + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 x + 2 \sin (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$