Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{5} + 6}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{5} + 6$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + 0) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.7

Some $15 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4}) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{3}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Some $4$ e $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4

Mova $15$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$\frac{15 \cdot x^{7} - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{15 x^{7} - (3 x^{5} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 x^{7} + (- 3 (3 x^{5}) - 3 \cdot 6) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5}) x^{2} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $x^{5}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 (x^{2} x^{5})) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{2 + 5}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Some $2$ e $5$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{7}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $9 x^{7}$ de $15 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.4

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{7} - 18 x^{2}$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.4.2

Fatore $6 x^{2}$ de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Etapa 7.4.3

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5} - 3)}{x^{6}}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{5} - 3)$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{6}}$

Etapa 7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (x^{5} - 3)}{x^{4}}$