Cálculo Exemplos

$y = {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\sqrt{7}}$ e $g (x) = x + \frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\sqrt{7}}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \sqrt{7}$ .

$\sqrt{7} u^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Etapa 2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 x^{- 3})$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine os termos.

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Etapa 4.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{- 2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$ .

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \sqrt{7} (1 - \frac{2}{x^{3}})$