Cálculo Exemplos

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{2} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = 2 x^{2} - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 7

Combine $\frac{5}{2}$ e ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Etapa 8

Multiplique $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ .

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 9

Mova ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ por ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1.1

Mova ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10.1.4

Some $- 3$ e $5$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 10.2

Simplifique $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 14

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

Etapa 17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Etapa 18.3

Combine os termos.

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Etapa 18.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Etapa 18.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

Etapa 18.4

Reordene os fatores de $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

Etapa 18.5

Fatore $2 x \ln (2)$ de $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ .

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Etapa 18.5.1

Fatore $2 x \ln (2)$ de $4 x^{2} \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

Etapa 18.5.2

Fatore $2 x \ln (2)$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

Etapa 18.5.3

Fatore $2 x \ln (2)$ de $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Etapa 18.6

Multiplique $4 x - 1$ por $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Etapa 18.7

Mova $5$ para a esquerda de $4 x - 1$ .

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$