Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 9$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Etapa 9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$