Cálculo Exemplos

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Adicione parênteses.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 5.2.2

Reordene $2 x^{3}$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

Etapa 5.2.3

Adicione parênteses.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

Etapa 5.2.4

Reordene $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

Etapa 5.2.5

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

Etapa 5.2.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$