Cálculo Exemplos

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{3}{4}$ e ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 6.3

Mova ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + 0)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x)$

Etapa 12.2

Combine $4$ e $\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 12.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Etapa 12.4

Combine $\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ e $x$ .

$\frac{12 x}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 12.5

Fatore $4$ de $12 x$ .

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $4$ de $4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 (3 x)}{4 ({(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$