Cálculo Exemplos

$y = {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0))$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x))$

Etapa 4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Etapa 4.5.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Etapa 4.5.4

Reordene os fatores de $24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$24 x {(x^{2} + 1)}^{3} {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$