Cálculo Exemplos

$y = {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 6}$ e $g (x) = x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 6$ .

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} \frac{d}{d x} [x^{8} - 5 x^{4} + 2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{8} - 5 x^{4} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.5

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2 \cdot 1)$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 6 {(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{- 7} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine os termos.

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Etapa 4.1.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Etapa 4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}} (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2)$ .

$- (8 x^{7} - 20 x^{3} + 2) \frac{6}{{(x^{8} - 5 x^{4} + 2 x)}^{7}}$