Cálculo Exemplos

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \sin (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \sin (7 x)$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (7 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Multiplique $7$ por $- 4$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Etapa 5.2

Combine $- 28$ e $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Etapa 5.4

Combine $\cos (7 x)$ e $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

Etapa 5.5

Mova $28$ para a esquerda de $\cos (7 x)$ .

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$