Cálculo Exemplos

$y = {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ e $g (x) = x^{5} - 8$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} - 8$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{4}{5}$ e ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 6.3

Mova ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 9

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + 0)$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4})$

Etapa 10.2

Combine $5$ e $\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Etapa 10.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Etapa 10.4

Combine $\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 10.5

Fatore $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $5$ de $5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 ({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{4}}{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$