Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

Etapa 2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 4.9.2

Combine $\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ e $18$ .

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Etapa 4.9.3

Mova $18$ para a esquerda de $2 (2 - x) x + x^{2}$ .

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $6 x^{2}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6

Combine os termos.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $4$ por $18$ .

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.8

Multiplique $- 2$ por $18$ .

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.9

Some $- 36 x^{2}$ e $18 x^{2}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.10

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.11

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.6.11.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.12

Multiplique $\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ por $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Etapa 5.6.13

Multiplique ${(2 - x)}^{2}$ por ${(2 - x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

Etapa 5.6.13.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

Etapa 5.6.14

Mova $36$ para a esquerda de $72 x - 18 x^{2}$ .

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

Etapa 5.7

Reordene os termos.

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.8.1

Fatore $18 x$ de $72 x - 18 x^{2}$ .

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Etapa 5.8.1.1

Fatore $18 x$ de $72 x$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.1.2

Fatore $18 x$ de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.1.3

Fatore $18 x$ de $18 x (4) + 18 x (- x)$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.2

Combine expoentes.

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Etapa 5.8.2.1

Multiplique $18$ por $36$ .

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Etapa 5.8.2.4

Some $1$ e $4$ .

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$