Cálculo Exemplos

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 3.3

Multiplique ${(x^{3} - 6)}^{2}$ por $1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 6$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 5.2

Fatore $x^{3} - 6$ de ${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x^{3} - 6$ de ${(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3} - 6$ de $- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{3} - 6$ de $(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x^{3} - 6$ de ${(x^{3} - 6)}^{4}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 9

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 10.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 11

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $x^{2}$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 11.3

Some $2$ e $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 12

Subtraia $6 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 13

Combine $5$ e $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $5$ por $- 6$ .

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.3

Fatore $5$ de $- 25 x^{3} - 30$ .

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Etapa 14.3.1

Fatore $5$ de $- 25 x^{3}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.3.2

Fatore $5$ de $- 30$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.3.3

Fatore $5$ de $5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.4

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.5

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.6

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.7

Reescreva $- (5 x^{3} + 6)$ como $- 1 (5 x^{3} + 6)$ .

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Etapa 14.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$