Cálculo Exemplos

$g (x) = e^{c x} (\cos (a x) - 3 \sin (a x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{c x}$ e $g (x) = \cos (a x) - 3 \sin (a x)$ .

$e^{c x} \frac{d}{d x} [\cos (a x) - 3 \sin (a x)] + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (a x) - 3 \sin (a x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $a x$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$e^{c x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 4.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 4.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (a x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 5.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \cdot 1)) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 6.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = c x$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [c x])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [c x])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{c x} \frac{d}{d x} [c x])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c x$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \cdot 1)$

Etapa 8.3

Multiplique $c$ por $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) e^{c x} - 3 \sin (a x) e^{c x}) c$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + \cos (a x) e^{c x} c - 3 \sin (a x) e^{c x} c$

Etapa 9.4

Reordene os termos.

$- e^{c x} a \sin (a x) - 3 e^{c x} a \cos (a x) + e^{c x} c \cos (a x) - 3 e^{c x} c \sin (a x)$