Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{\arcsin (3 x)}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \arcsin (3 x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (3 x)] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Combine $3$ e $\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} (\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 - 9 x^{2}}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x))}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x - \sqrt{1 - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8.1.3

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 3 x$ .

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - (3 x))} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

Etapa 8.2

Reordene os termos.

$\frac{- \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x) + 3 x}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}}$