Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{x}{y})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 4

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$