Cálculo Exemplos

$\ln (x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9.2

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1.1

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

Etapa 10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

Etapa 10.1.4

Some $- 3$ e $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{5}{2 x^{1}}$

Etapa 10.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{5}{2 x}$