Cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{5}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 10

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12.4

Some $1$ e $4$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12.5

Divida $5$ por $5$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 13

Simplifique $5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 16

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

Etapa 17

Combine frações.

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Etapa 17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

Etapa 17.2

Combine $2$ e $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

Etapa 17.3

Combine $\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$