Cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt{x} + 2)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}} + 2)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 10.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 2) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3

Combine os termos.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.2

Simplifique $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.4

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.4.1

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.4.2

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)}$

Etapa 11.4.3

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}$